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New PDF release: Moderne Algebra

By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3662419580

ISBN-13: 9783662419588

ISBN-10: 3662420163

ISBN-13: 9783662420164

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Example text

Nach § 85 ist dieser Durchschnitt zugleich Produkt: a=[ql' .. ·,Qr]=ql·q;:···qr· Nach den Sätzen von § 85, Schluß, ist der Restklassenring oja eine direkte Summe wn Ringen, die sich gegenseitig annullieren und isomorph den Restklassenringen o/q" sind. Die letzteren Restklassenringe sind primär, d. h. in ihnen ist jeder Nullteiler nilpotent. In Hauptidealringen sind die Primärideale qi zugleich Primidealpotenzen. Ob das in allgemeineren Ringen auch der Fall ist, hängt ab von einer Bedingung, die wir später noch kennenlernen werden, nämlich der Bedingung der "ganzen Abgeschlossenheit" (§ 98).

Heißt das zu q gehörige Primideal, q ein zu \) gehöriges Primär ideal. Zu folge der Definition des Primärideals gilt: II. Aus ab=O(q) und a$O(q) folgt b=O(\)). Gewissermaßen die Umkehrung dieses Satzes ist der folgende: III. Wenn \) und q Ideale sind und die Eigenschaft haben, daß 1. aus ab - 0 (q) und a$O (q) folgt b 2. q = 0(\)), == 0 (\)), 3. aus b=O(~) folgt bll=O(q), so ist q primär und \) das zugehörige Primideal. = Beweis: Aus ab 0 (q) und a $0 (q) folgt (wegen 1. ) bll 0 (q). Also ist q primär.

Aus ao==O(q) = und a$O(q) folgt 0==0(\)). Denn wäre 0 $ 0 (0), so würde es ein Element b in 0 geben, das nicht in \) liegt, und ebenso ein Element a in a, das nicht in q liegt. Das Produkt ab müßte aber in ao, also in q liegen im Widerspruch zum früher Bewiesenen. Genau so beweist man den entsprechenden Satz für Primideale : Aus ao=O(~) und v. d. Waerden, Moderne Algebra Ir. a$O(~) folgt 0=0(\)). 3 34 XII. Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe. Eine Folge davon [durch (h -I)-malige Anwendung zu beweisen] ist: Aus Oll = 0 (~) folgt 0 = 0 (~).

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by Steven
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