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Joachim Hilgert's Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über PDF

By Joachim Hilgert

ISBN-10: 3662488698

ISBN-13: 9783662488690

Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in research und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten  Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten  zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht.

Die Inhalte,  an denen die verschiedenen Typen von Strukturen exemplarisch erläutert werden, decken curriculare Anforderungen insbesondere aus der Algebra und der Geometrie (differentiell und algebraisch) ab. Die Diskussion von Vergleichsmöglichkeiten enthält aber auch Einführungen in die Kategorientheorie und die Garbentheorie, deren Bedeutung in der modernen Mathematik eine stärkere Verankerung in den Curricula nahelegt.   

Das Buch eignet sich insbesondere auch zum Nachschlagen der dargestellten Strukturen.

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Man kann diese Ähnlichkeiten präzisieren und damit die Konstruktionen auch auf andere Strukturen übertragen. Dazu muss man einen Rahmen schaffen, innerhalb dessen man über unterschiedliche algebraische Strukturen gleichzeitig sprechen kann. Einen solchen Rahmen stellt die universelle Algebra bereit. Wir werden in Kap. 4 darauf zurückkommen. Erzeugte und freie Moduln Ein besonders wichtiges Werkzeug zur Untersuchung von Vektorräumen in der linearen Algebra ist das Konzept einer Basis, mit dem man abstrakte Objekte durch Zahlentupel charakterisieren kann.

M/ D m für alle m 2 M . Die p heißen kanonische Projektionen. 1 Strukturtheorie von Moduln 41 Damit ist unser Exkurs über allgemeine Eigenschaften von direkten Summen und Produkten von Moduln beendet, und wir kommen zurück zur Konstruktion freier Moduln. 20 (Freie Links-R-Moduln) Sei R ein Ring mit Eins und E eine Menge. E/ ˚ « M WD f W E ! E/. Die Abbildung E ! E/; e 7! E/. e/: Sei jetzt V ein (Links-)R-Modul und ' W E ! V eine Abbildung. E/ als Linearkombinationen der fe schreiben lässt. 14 frei mit Basis E.

In diesem Fall möchte man die Inklusionsabbildung ÃW M ! N als Homomorphismus haben. Das funktioniert nur, wenn 8m1 ; m2 2 M; r1 ; r2 2 RW r1 m1 C r2 m2 2 N gilt. In diesem Fall nennt man M einen Untermodul von N . 3 (Untermoduln) Sei R ein Ring, N ein Links-R-Modul und M Â N eine Teilmenge. Man zeige, dass M genau dann ein Untermodul von N ist, wenn M M Â M und RM Â M gilt. Man hätte analog zur eben vorgestellten Begriffsbildung des Untermoduls in Kap. 1 auch den Begriff des Unterringes bilden können.

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Mathematische Strukturen: Von der linearen Algebra über Ringen zur Geometrie mit Garben by Joachim Hilgert


by Donald
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