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4) que I = Hr (A) est un module dualisant pour A, d´esignons par D le foncteur dualisant associ´e. 5) posons N = A/mk , P = A alors on obtient un homomorphisme de δ-foncteurs en M (13) ϕk : Exti (A/mk , M) −→ Hom(Extr−i (M, A), Extr (A/mk , A)). Passant ` a la limite inductive suivant k, on trouve un homomorphisme de δ-foncteurs (14) ϕ : Hi (M) −→ D(Extr−i (M, A)). 1 (Théorème de dualité locale). — L’homomorphisme fonctoriel ϕ pr´ec´edent est un isomorphisme. 65 D´emonstration. — Si i > r, le deuxi`eme membre de (14) est trivialement nul, et le premier membre est nul car Hi (M) = limk Exti (A/mk , M), et c’est vrai pour chaque −→ Exti (A/mk , M) (Th´eor`eme des syzygies).

39 D´emonstration. — Soit F l’ensemble des parties ferm´ees de X dont la codimension dans X est sup´erieure ou ´egale `a d. On notera que F est un antifiltre de parties ferm´ees de X. Par ailleurs, pour qu’un ferm´e Y de X soit ´el´ement de F , il faut et il suffit que, pour tout y ∈ Y il existe un voisinage ouvert V de X tel que Y ∩ V soit de codimension d dans V. Enfin, si X est connexe et si Y ∈ F , X − Y est connexe d’apr`es le th´eor`eme de Hartshorne. Le corollaire r´esulte donc du lemme suivant, qui est de nature purement topologique.

Par l’hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une suite de n ´el´ements de I qui est r´eguli`ere pour M/f1 M, ce qui entraˆıne qu’il existe une suite de n + 1 ´el´ements de I, commen¸cant par f1 , et qui est M-r´eguli`ere. 3. — Soit A un anneau commutatif `a ´el´ement unit´e, soit M un A-module, soit I un id´eal de A. On appelle I-profondeur de M, et on note prof I M, la borne sup´erieure dans N ∪ {+∞} de l’ensemble des entiers naturels n, qui sont tels que pour tout A-module de type fini N annul´e par une puissance de I, on ait ExtiA (N, M) = 0 pour tout i < n.

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by Michael
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