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By J. Sander et al.

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An = Menge aller geraden Permutationen von {1, 2, . . , n}) bezeichnen. Offenbar sind G, U ∈ ucke in den α1 , α2 , . . , αn A. Außerdem sind G + U und G · U symmetrische Ausdr¨ ¨ (das Vertauschen von αi ←→ αj f¨ uhrt nur zu einer Anderung der Reihenfolge der Summanden von G bzw. U oder zu einem Tausch der Rollen von G und U). h. G + U, G · U ∈ Q. 30 folgt G + U, G · U ∈ Z. Es ergibt sich ∆F = (G − U)2 = (G + U)2 − 4G · U ≡ (G + U)2 ≡ 0, 1 mod 4 . 36 ist ∆f > 0 f¨ ur total-reelles F . 45 (von Kronecker) Ist F ein algebraischer Zahlk¨orper mit Signatur {r1 , r2 }, so ist das Vorzeichen von ∆F gleich (−1)r2 .

50) ergibt sich die Existenz von σ, τ ∈ D derart, dass σα + τ β = 1 . h. α ist prim. 47(ii) folgt die Eindeutigkeit der Zerlegung, wobei wie oben Induktion u ¨ber f (α) benutzt wird. ✷ Als Anwendungsbeispiel f¨ ur Faktorisierung in Zahlk¨orpern betrachten wir eine sogenannte Bachet-Gleichung y 2 = x3 + k mit festem k ∈ Z. h. L¨osungen u ¨ber Z) y 2 = x3 − 2 hat nur die beiden L¨osungen x = 3, y = ±5. 1 ALGEBRAISCHE ZAHLEN 49 Beweis: Zun¨achst ist x ungerade, denn f¨ ur gerades x h¨atten wir y 2 ≡ −2 mod 4 Widerspruch.

Es gibt h(x) ∈ Z[x] mit m2 (xp ) = m1 (x) · h(x) . Wir betrachten die Polynomidentit¨aten u ¨ber Z nun modulo p. Man zeigt leicht mit dem Binomischen Lehrsatz, dass f¨ ur beliebige Polynome f (x) gilt f (xp ) ≡ f (x)p mod p. Also haben wir m2 (x)p ≡ m1 (x) · h(x) mod p . Ist nun k(x) ein beliebiger irreduzibler Faktor von m1 (x) mod p, so ist k(x) auch ein solcher Teiler von m2 (x)p und damit von m2 (x) mod p. h. k(x) | (xn − 1) mod p und k(x) | (xn − 1) = nxn−1 mod p. Wegen p n hat n · xn−1 nur irreduzible Faktoren x, die jedoch nicht xn − 1 teilen.

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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by J. Sander et al.

by Kevin

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