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By J. W. S. Cassels, A. Frohlich

ISBN-10: 0121632512

ISBN-13: 9780121632519

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IX + {3) U = IX U + {3 u. 4. (IX {3) U = IX ({3 u). 5. AIle Elemente von @ sind eindeutig darstellbar als Linearformen 1X1 Ul + ... + IX" Un mit Hilfe von n festen "Basiselementen" ~, ... , u ll • Aus 2. und 4. folgt m (1) {3 (1X1Ul + ... +IXnUn ) Setzt man insbesondere {3 = = 1 und 1X1 ~ + •.. + an u,. 1'u (2) ({31X1)Ul + ... + ({3IXn) un' = U, so folgt =U. Aus ). folgt weiter { (1X1 Ul + ... + IXn un) + ({3l ~ + ... + {3,. Un) = (1X1 + {3l)Ul + ... + (IX" + {3n) Un' Jedes Element U=1X1Ul + ...

Die Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe heiGt die Ordnung der Gruppe. Weitere Rechenregeln. Fur das Inverse eines Produkts gilt die folgende Regel: Denn es ist (b-1 a-I) a b = b-I(a-I a b) = b- I b = e. Bei abelschen Gruppen ist es hiiufig zweckmiiBig, die Verknupfung additiv zu schreiben, d. h. a + b statt a . b zu schreiben. Die Gruppe heiGt dann eine additive Gruppe oder ein M odul (Verallgemeinerung der oben definierten Zahlenmoduln). Das Einselement bezeichnet man in diesem Fall mit 0, weil es, genau so wie die Null im Bereich der ganzen Zahlen, durch die Eigenschaft O+a=a charakterisiert ist.

B·eweis. Sei a irgendein Element. Jedem Element x ordnen wir das Element a x zu. Diese Zuordnung ist nach 6. umkehrbar eindeutig; d. h. die Menge @ wird eineindeutig auf eine Untermenge, die Menge aller Produkte a x, abgebildet. Da aber ® nach Voraussetzung eine endliche Menge ist, so kann sie nicht auf eine echte Untermenge eineindeutig abgebildet werden. Also muG die Gesamtheit der Elemente a x mit @ identisch sein; d. h. jedes Element b ist in der Gestalt b = a x zu schreiben, wie die erste Forderung 5.

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Algebraic number theory Proc by J. W. S. Cassels, A. Frohlich


by Ronald
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